Números Triangulares, Quadrados e Retangulares

Este artigo foi originalmente publicado na revista Espiral, na edição de outubro-novembro-dezembro de 2008:

http://abradic.com/espiral/ 

Autor: Dr. Leonardo S. F. dos Santos

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   Um número não pode ser associado a algum lugar do espaço. Por exemplo, em algum lugar existem duas pessoas, duas maçãs, duas cadeiras mas o dois em si mesmo não está em lugar algum. O mesmo pode ser dito dos demais números.

   Pode um número que não ocupa nenhum lugar no espaço ter uma forma espacial? O número em si não pode, mas suas representações podem adequar-se a certas formas.

   Um forma ingênua de associar um número a uma forma é desenhando segmentos de retas. O 1 é representado por um ponto. O número 2 é representado como um segmento de reta. Já o número 3 é representado por um triângulo, o 4 por um quadrado, o cinco por um pentágono e assim por diante.

   Mas no século VI a.C., um grupo de filósofos matemáticos gregos, os discípulos de Pitágoras, já tinham uma forma mais sofisticada de associar números a formas. Porém o próprio conceito de número era diferente do atual. Número não era abstração, mas aquilo que estruturava o "cosmo". O 1 não era número porque ele era a própria unidade. O primeiro número era o 2 porque era a primeira manifestação da multiplicidade. O 3 era o segundo número e assim por diante. Além disso, os pitagóricos desconheciam o zero.

   Se Pitágoras existiu de fato ou se foi personagem lendário é uma questão em aberto. Mas a matemática pitagórica persiste na atualidade. A atribuição de formas aos números é um exemplo disso.

Números triangulares

   O triângulo sempre foi uma figura sagrada. Nas religiões antigas, vários deuses se organizavam em trindades. Na Índia a trindade era constituída de Brahma (criador), Vishnu (conservador) e Shiva (destruidor). No Egito havia a trindade Osíris (pai), Isis (mãe) e Hórus (filho). Na religião cristã aparece o conceito Deus em três pessoas, a Santíssima Trindade, formada pelo Pai (criador), Filho (salvador) e Espírito Santo (vivificador).

   Os pitagóricos chamavam de triangulares todos os números que podem ser escritos como a soma de uma sequência começando pelo 1. Assim o 3 é triangular porque 3=1+2. O 6 também é triangular porque 6=1+2+3. O número 10 também é triangular porque 1+2+3+4=10. Continuando um pouco a sequência de números triangulares, que é infinita:

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

1+2+3+4+5+6+7=28

1+2+3+4+5+6+7+8=36

1+2+3+4+5+6+7+8+9=45

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55

   Por que chamar estes números de triangulares? Porque eles podem ser representados como triângulos de pontos. Por exemplo:

3

   *

*    *

6

         *

     *      *

   *    *     *

10

                           *

                      *       *

                  *      *       *

             *       *       *      *

15

                             *

                         *      *

                     *      *     *

                *      *       *     *

           *       *       *     *      *

   Alguns números triangulares merecem atenção especial. Por exemplo, a soma que constitui o número 6 pode ser substituída pelo produto sem perder a validade. Tanto faz escrever 6=1+2+3 como 6=1x2x3.

   O conjunto 1, 2, 3 e 4 tinha valor sagrado para os pitagóricos e era chamado de Sagrada Tetrakytis. Assim o número triangular correspondente a esta soma também era sagrado: 1+2+3+4=10. O 1 e os nove primeiros números formavam a base para todos os in  finitos números. Os pitagóricos dividiam os números acima de 10 em dez classes: aqueles que eram formados por dezenas (10, 20=10+10, 30=10+10+10, etc.), os que eram formados por dezenas e uma unidade (11=10+1, 21=10+10+1, 31=10+10+10+1, etc.), os que eram formados por dezenas e duas unidades (12=10+2, 22=10+10+2, 32=10+10+10+2, etc.) e assim por diante. Esta forma de dividir os números foi precursora do sistema decimal. Faltou aos pitagóricos conhecer o número zero e agrupar dez dezenas em uma centena, dez centenas em um milhar, etc. Foi necessário esperar um povo do Oriente que não teve acesso ao pitagorismo, os indianos, conceber o sistema decimal. Também foi necessário que os árabes do séc. IX divulgassem para o mundo o sistema decimal, chamado até hoje de numeração indo-arábica. O termo algarismo deriva do matemático árabe que divulgou o sistema, Al-Khowarizmi (780-840).

   Segundo o filósofo francês Jean-François Mattéi, talvez o 5 seria tão sagrado quanto o 4. Afinal, o símbolo principal do pitagorismo é o pentagrama, a estrela de cinco pontas. Assim o 10 não só seria um número triangular mas também a soma de 5 com ele mesmo. Os 10 dedos das mãos seriam a união dos 5 dedos de cada mão. Se o 5 é sagrado, o número triangular correspondente também seria: 

1+2+3+4+5=15.

   Os pitagóricos influenciaram o filósofo grego Platão (428 a.C. - 347 a.C.). Os escritos de Platão acabaram influenciando os judeus e os cristãos. A influência pitagórica sobre os cristãos, mediada pelo platonismo, deixou marcas profundas sobre os dogmas cristãos e sobre a interpretação cristã das Escrituras. Consequentemente os números triangulares ganhavam destaque e comentários. Deus se apresenta como 3 pessoas, cria o mundo em 6 dias, dá ao homem 10 mandamentos, etc.

   O número triangular mais misterioso da Bíblia é o 153. O número 153 aparece no Evangelho de São João, capítulo 21, versículo 11. Jesus ressuscitado ordena que Pedro e mais 6 discípulos pesquem. O número de peixes pescados é 

153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17.

   O termo "número triangular" não é muito popular. Em compensação, atribuir forma quadrada a alguns números é bem mais comum. É o que será visto a seguir.

Números quadrados

   Assim como o triângulo, o quadrado também sempre foi uma figura sagrada. Ele não representava o divino, mas a própria terra, com suas quatro direções: norte, sul, leste e oeste. Muitos templos, pirâmides e torres tinham a base quadrada. Como já foi mencionado, a Tetrakytis (1, 2, 3 e 4), era particularmente sagrada para os pitagóricos. Os cristãos só aceitam 4 evangelhos. Ireneu de Lion, bispo cristão do século II, um dos responsáveis pelo canon bíblico, associava os 4 pontos cardeais com os 4 evangelhos.

   Os pitagóricos chamavam de quadrados todos os números que podem ser escritos como a soma de uma sequência começando pelo 1 e seguida apenas por números ímpares. Assim o 4 é quadrado porque 4=1+3. O 9 também é quadrado porque 9=1+3+5. O número 16 também é quadrado porque 1+3+5+7=16. Continuando um pouco a sequência de números quadrados, que é infinita:

1+3+5+7+9=25

1+3+5+7+9+11=36

1+3+5+7+9+11+13=49

1+3+5+7+9+11+13+15=64

1+3+5+7+9+11+13+15+17=81

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100

   Por que chamar estes números de quadrados? Porque eles podem ser representados como quadrados de pontos. Por exemplo:

4

*  *

*  *

9

*  *  *

*  *  *

*  *  *

16

*  *  *  *

*  *  *  *

*  *  *  *

*  *  *  *

25

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *   

   A outra forma de representar um número quadrado é como o produto de um número por ele mesmo. Por exemplo:

4=2x2

9=3x3

16=4x4

25= 5x5

   A interpretação pitagórica deste fato era bem interessante. Um número ímpar (excluindo o 1, que não era número) podia ser escrito como um par regido por uma unidade central. Assim 3=1+1+1, 5=2+1+2, 7=3+1+3, 9=4+1+4, etc. O número ímpar era uma multiplicidade regida pela unidade. Assim a soma dos ímpares só podia gerar uma figura regular, o quadrado.

   Como herança do pitagorismo, até hoje a multiplicação de um número por ele mesmo é chamada de "elevar ao quadrado". Assim 2 ao quadrado é 2x2=4. Já 3 ao quadrado é 3x3=9. E assim por diante. Na matemática moderna o número quadrado é chamado de "quadrado perfeito". O único quadrado perfeito que não era classificado como número quadrado é o 1=1x1. No pitagorismo o 1 não era número.

   A soma de dois números triangulares sucessivos sempre gera um número quadrado. Por exemplo, o número triangular que vem depois do 3 é o 6 e 3+6=9. Outros exemplos:

6+10=16

10+15=25

15+21=36

21+28=49

   Abaixo os números quadrados formando dois triangulares sucessivos ficam bem ilustrados.

9 =3 + 6

*  *  *     * *             *

*  *  * =  *     +     * *

*  *  *               *  *  *

16=6 + 10

*  *  *  *      * * *             *

*  *  *  * =   * * +         *  *

*  *  *  *      *            *  *  *

*  *  *  *                *  *  *  *

Mas o que aconteceria se ao invés de ímpares fossem somados pares?

Números retangulares

   Assim como o triângulo e o quadrado, o retângulo também era uma figura sagrada, mas apenas se as proporções do retângulo fossem especiais. Algumas proporções sagradas eram 3 por 2, 5 por 3 e a principalmente a proporção áurea. Esta proporção que aparece no Partenon, em algumas igrejas medievais e no próprio pentagrama pitagórico vale aproximadamente 1,618, ou seja, o lado maior sobre o menor tinha este valor. Fora de algumas proporções sagradas, os pitagóricos associavam o retângulo à irregularidade.

   Os pitagóricos chamavam de retangulares todos os números que podem ser escritos como a soma de uma sequência de pares começando pelo 2. Assim o 6 é retangular porque 6=2+4. O 12 também é retangular porque 12=2+4+6. O número 20 também é retangular porque 2+4+6+8=20. Continuando um pouco a sequência de números retangulares, que é infinita:

2+4+6+8+10=30

2+4+6+8+10+12=42

2+4+6+8+10+12+14=56

2+4+6+8+10+12+14+16=72

2+4+6+8+10+12+14+16+18=90

2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=110

   Por que chamar estes números de retangulares? Porque eles podem ser representados como retângulos de pontos onde a base ou a altura diferem em uma unidade. Na representação abaixo será usada a base com uma unidade a mais. Por exemplo:

6

*  *  *

*  *  *

12

*  *  *  *

*  *  *  *

*  *  *  *

20

*  *  *  *  *

*  *  *  *  *
*  *  *  *  *
*  *  *  *  *  

30

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *

*  *  *  *  *  *   

   A outra forma de representar um número retangular é como o produto de dois números sucessivos. Por exemplo:

6=2x3

12=3x4

20=4x5

30= 5x6

   A interpretação pitagórica deste fato também era bem interessante. Um número par podia ser escrito como um par sem nenhuma unidade central, com um vazio entre as metades. Assim 2=1+1, 4=2+2, 6=3+3, 8=4+4, etc. Então o número par era uma multiplicidade pura. A soma dos pares só podia gerar uma figura irregular, o retângulo.

   O dobro de um número triangular sempre gera um número retangular. Por exemplo:

6=2x3

12=2x4

20= 2x10

30=2x15

   Abaixo os números retangulares formando dois triangulares iguais ficam mais claros.

6=3 + 3

*  *  * =   *  * +     *

*  *  *      *         * *

12=6 + 6

*  *  *  *       * * *               *

*  *  *  * =   * *    +         * *

*  *  *  *      *              *  *  *

   Esta propriedade dos números retangulares abre caminho para encontrar números triangulares. Se o dobro de um triangular é retangular, a metade de um retangular é triangular. Assim o produto de dois números sucessivos divididos por 2 é um número triangular. Por exemplo:

3=(2x3)/2=6/2

6=(3x4)/2=12/2

10=(4x5)/2=20/2

15=(5x6)/2=30/2

Um triângulo é uma soma de um quadrado com um retângulo

   Todo número triangular pode ser escrito como a soma de um número quadrado com um número retangular. Por exemplo:

6=4+2

10=4+6

15=9+6

21=9+12

28=16+12

   A interpretação pitagórica disso é interessante. O primeiro número triangular, o 3, é formado pela soma da unidade 1 com a primeira manifestação de multiplicidade, o 2. Os números quadrados são regulares e constituídos de uma soma de ímpares enquanto os retangulares são irregulares e formados pela soma de pares. Assim como o 3 é a soma do 1 e do 2, os números triangulares são a soma dos quadrados com os retangulares. Para saber como é a decomposição de um número triangular em um retangular e um quadrado, basta separar os ímpares e o 1 de um lado e os pares de outro. Por exemplo:

6=1+2+3=(1+3)+2=4+2

10=1+2+3+4=10=(1+3)+(2+4)=4+6

15=1+2+3+4+5=(1+3+5)+(2+4)=9+6

21=1+2+3+4+5+6=(1+3+5)+(2+4+6)=9+12

Conclusão

   Geralmente as crianças gostam de somar sequências de números, associar formas a números, descobrir alguma interpretação poética para suas contas, etc. Por que não ir além? Ou melhor, por que não ir aquém, no passado onde estas idéias surgiram. Por que não mostrar que a brincadeira de somar a sequência dos números naturais é uma prática antiga?

   Muitas crianças que aprendem potenciação pela primeira vez se impressionam com as palavra quadrado. Se elas aprendem a elevar números ao quadrado, por que não eleva-los ao triângulo ou à circunferência?

   Muitos adultos têm uma criança adormecida dentro de si mesmos, cheia de perguntas que ficaram sem respostas. E ela pode descobrir que o quadrado na potenciação está realmente ligado ao quadrado da geometria. E uma criança que especulou que além dos quadrados perfeitos poderiam existir triângulos e retângulos perfeitos não estava errada.

   Uma idéia infantil que um adulto achou ridícula certamente já passou pela cabeça de alguém considerado sábio e foi ensinada em alguma época.

   Os pitagóricos também criaram os conceitos de números pentagonais, hexagonais, piramidais, cúbicos, etc. Mas neste ponto do texto, o autor cansou de escrever e o leitor, de ler. O autor já está com os olhos triangulares de tanto olhar para a tela do computador, dedos retangulares de tanto digitar e nádegas quadradas de tanto ficar sentado escrevendo este texto despretensioso.